Читальный зал -->  Линейные цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Подстановка функций (15.57) в (15.54) дает искомое решение.

Если среди собственных значений матрицы Ai есть кратные значения, то общие выражения (15.54) и (15.55) останутся справедливыми, а уравнения для определения функций ао, ..., a i изменятся. Так, если -собственное значение кратности т,-, то составляют mt уравнений:

= eV =

dX dF (X)

dTji-

1=1,

F{X)

Составляя такие уравнения для каждого собственного значения и решая их совместно, определяем функции о. 1. ,

Пример 15.9. Для цепи на рис. 15.18 определить ii(f) и Kg (О, если J(i)=0; е(0=1(0; /-1=0,5 Ом; /-2=2,5 Ом; С=1 Ф; L=0,5 Г. НачальнЬе условия: Mj, (0)=О, t.(0)=0.

Решение. Уравнения состояния цепи получены в § 15.6 при условии, что в цепь включены источники тока и э. д. с. Если источник тока отсутствует [J{t)=0), то матрицы Ai и Аг не изменяют своих значений:

с с		r-2 -1-		-81 0-		г2 0-
Ll la		2 -5.	. А2 =	.0 /-2,		-0 2,5

Матрицы Bi и Ва при наличии в цепи только источника э. д. с. e(t) принимают вид

Bi =

0		0	; В2=
L L J

Так как напряжение источника э. д. с. представляет единичную функцию для выходных переменных справедливо выражение вида (15.48)

			2 0	еА.	1 0		0
			0 2,5		0 1

Для вычисления матричной функции е следует найти собственные значения матрицы Ai из уравнения

А(Я) = ( или

X 0-		- 2 -Г	= det	Х+2 Г
		2 -5		-2 Х+5

==(Х+2)(Х+5)+2=0

}?+7Х+12=0,

откуда Я,х=-3; Я,2 = -4. Так как порядок матрицы Ai п=2, полином F (X) имеет первую степень:

f(X)=ao+aj X.

функции Со ц <н определяем из уравнений !1 e-sf=ao-3ai;

е~ =ао-4ai,

откуда Ко=4е-в-Зе- ; 1=6- -е *. Матричная функция

01 1

+ (е-а/ е-4)

еА,<= о! + aiAi=(4е-а-Зе-*)

-2е~8 е-4 e-s*+e

[2е-з<-2е-** е-з+2е- Матрица, обратная матрице Ai,

А-1=

-2 -Г 2 -5

		-1 1	-5 Г
			-2 -2

Подставляя выражения для eAi< и А в формулу для выходных величин, получим

L 3 +2 6J

В рассмотренном примере выражение для ii совпадает с переходной взаимной проводимостью, а выражение для %-с переходным коэффициентом передачи напряжения.

Численные методы решения уравнений состояния. Матричная экспоненциальная функция может быть представлена в виде ряда

eV = l-fAif-fi-Af-f...= 2-l

Если ограничиться конечным числом слагаемых, то вычисление матричной функции e* можно свести к умножению и суммированию матриц, что нетрудно выполнить с помощью ЦВМ.

Уравнения состояния проще всего решаются методом численного интегрирования - методом Эйлера. При численном интегрировании интервал интегрирования разделяется на ряд отрезков - шагов. Не снижая общности, шаг Л можно считать постоянным. Зная начальное значение переменных состояния х(0), сначала необходимо вычислить x(/i), затем х(2й) и т. д.

Матрицу переменных состояния для (и+ 1)-го шага х 1)1 можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь слагаемым, содержащим первую производную:

X {(/г+1) Л] = X (nh) + hx {nh). Подставляя в равенство (15.47) выражение X (nh) = Aix (nh) + Biv (nh), записанное согласно уравнению (15.28), получим = xUn+l)h]=H+hAi)x(nh)-\-hBiv{nh).

(15.58)

(15.59)

Формула (15.59) представляет собой расчетную формулу для вычисления переменных состояния по методу Эйлера. В соответствии с этой формулой

x(/i)==(l+Mi)x(0)-f/iBiV(0); \ X (2Л) = (I + ЙА1) X (й) Ч-ЙВу (й) и т. д.

. Процесс вычисления значений х [(/г + 1) Л] легко автоматизируется.

Так как разложение (15.58) в ряд Тейлора содержит только одну -производную, точность расчета по методу Эйлера может быть недостаточно высокой. Известны более точные методы численного интегрирования: метод трапеций, методы Рунге -Кутта и др (см. приложение I). .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.