(926)274-88-54
Бесплатная доставка.
Бесплатная сборка.
График работы:
Ежедневно. С 8-00 до 20-00.
Почта: soft_hous@mail.ru
|
|
Звоните! (926)274-88-54 Бесплатная доставка. Бесплатная сборка. |
Ассортимент тканей График работы: Ежедневно. С 8-00 до 20-00. Почта: soft_hous@mail.ru |
  
|
Читальный зал --> Линейные цепи источников э. д. с. и токов источников тока. Подробно такие уравнения здесь не рассматриваются. Порядок матрицы в уравнении (15.28), определяемый числом переменных состояния, в схеме без емкостных контуров и индуктивных сечений равен суммарному числу емкостей и индуктивностей *. Каждый емкостной контур и каждое индуктивное сечение уменьшают на единицу порядок матрицы Ai, поскольку в качестве переменных состояния выбираются только независимые напряжения на-емкостях и токи в индуктивностях. § 15.7. Способы решения уравнений состояния Аналитические выражения для решения уравнений состояния., Если в цепи. исключены источники (v = 0), то уравнение (15.28) принимает вид x = AiX. (15.39) Полученное уравнение характеризует свободные процессы в цепи. Решение этого уравнения выражается формулой х = еА.х(0), (15.40) где- е* = ехр {Ajt) - матричная экспоненциальная функция; х (0)- вектор начальных значений переменных состояния (4 = 0). Для того чтобы убедиться в справедливости выражения (15.40), можно подставить его в уравнение (15.39) ** и получить тождество AieA.x(0) = AieA.x(0). Если матрица параметров источников v=#0, то решение уравнения (15.28) можно представить как произведение: xeF{t), (15.41) где F (t) - некоторая матричная функция времени. Дифференцируя выражение (15.41), получаем i = AieAtF(0-beA.F(0 = AiX4-eA.F(0. (15.42) Из сравнения уравнений (15.28) и (15.42) следует eA.F(0 = BiV. (15.43) После умножения обеих частей равенства (15.43) слева на матричную функцию e- и интегрирования определяем t о / F(/)= I e-A.tBiv(T)dT= 5 e-A tBiv(T)dT-b5e-ABiv(i;)dT. * Порядок матрицы называется часто порядком сложности схемы и совпадает со степенью ха)рактеристического уравнения. ** Правила дифференцирования матричных функций аналогичны правилам дифференцирования скалярных функций. Таким образом, решение (15.41) записывается как сумма: о . X = еА < 5 e-AiTBiV(т) dx + e \ e-Ai-BiV (т) dr. (15.44) -со о Подставляя в полученное выражение значение = 0, находим х(0)= 5 e-A.iBiV (т) dT. . . -со ,. - Таким образом, окончательное решение уравнения (15.28) имеет вид x = eA.x(0) + eA.5-A.tBiv(T)dT. (15.45) Решение этого уравнения является суммой двух слагаемых: первое слагаемое определяется начальным состоянием цепи (реак-ция-цепи при нулевом входе : v=0), второе слагаемое определяется действием источников [реакция цепи при нулевом состоянии : X (0) = 0]. G учетом соотношения (15.45) матрица выходных переменных (15.29) выражается равенством t . у = АгеАх (0) + АгеА. \ е-a.BiV (т) dx + BaV. (15.46) Если в цепи действует только один источник э. д. с. (или тока), . представляющей единичную функцию, то v{t)~l (t) и при нулевых начальных условиях х(0) = 0 решение (15.45) принимает вид X = et[ - еА. ArlBi = е*. (1 - е-л.) ArBi. или x = (eA.-l)Ai-Bi. , (15.47) В этом случае матрица выходных переменных у = А2(еА. -1)Аг%-ЬВ2. (15.48) Формулы (15.47) и (15.48) выражают соответствующие переходные характеристики цепи. Если в цепи действует источник импульсных э. д. с. или тока, т. е. f (0 = 6(0, то при нулевых начальных условиях получается t t X = eAi \ a,TBj6 (т) dx = eAiBi \ 6 (т) dx, 0 0 так как подынтегральное выражение отлично от нуля только при = 0. Следовательно, при действии импульсного источника xeAtBi, . (15.49) y = A2eAiBi-f Ва6(0. (15.50) .Полученные формулы выражают соответствующие импульсные характеристики цепи. Как видно из формул (15.45) -ь (15.50), главным при решении уравнений состояния служит вычисление матричной экспоненциальной функции е . Известны различные аналитические способы вычисления этой функции; далее будет рассмотрен один из таких способов. Пусть через Ki{i=l, 2, п) обозначены собственные значения матрицы Ai, т. е. корни уравнения A(X) = det(Xl-Ai) = 0, (15.51) где матрица 1 имеет порядок, равный порядку матрицы Ai, т. е. п. Собственные значения матрицы Ai совпадают с корнями харак-теристичес1ого уравнения цепи. Действительно, если, производную x = dXkldt в (15.39) заменить на рх, то уравнение (15.39) можно переписать в виде px-AiX = (pl-Ai)x = 0. (15.52) Характеристическое уравнение получаем, приравнивая к нулю определитель системы (15.52): A(p) = det(pl-Ai) = 0. (15.53) Корни уравнений (15.51) и (15.53) одинаковы. .Матричная функция е наиболее просто вычисляется, если собственные значения матрицы hi различны. Общее выражение для искомой матричной функции еА. = ао1 +aiAi + a2A?+... + a iA -i, (15.54) где ао, 1, а 1 - некоторые функции, подлежащие определению; А\ = AiAi; к\ = AiAjAi и т. д. Для нахождения функций 1. п-1 образуют полином F (К) = ao + aiX+.. . + a iA -i (15.55) и составляют уравнения: eV=/?(Xi), eV=f (Ла), .... eV = F(X ). п-1- Из этих уравнений получаем
о ai и-1 (15.56) (15.57)
ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку. Звоните! Ежедневно! (926)274-88-54 Продажа и изготовление мебели. Копирование контента сайта запрещено. Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы. |