Читальный зал -->  Линейные цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Источник э. д. с. e(f) и источник тока J(t) будут дуальными, если e(t) = J {t). Зто равенство следует понимать как численное равенство э. д. с. (в вольтах) и тока источника тока (в амперах).

Для линейного сопротивления г дуальным элементом будет проводимость g = r и наоборот. Действительно, при g = r уравнение ы = п совпадает с уравнением i = gu*.

Равенство g = r следует понимать как численное равенство проводимости (в сименсах) и сопротивления (в омах).

У дуальных нелинейных резистивных двухполюсников должны совпадать нелинейные зависимости и {/) и / (и).

Рис. 2.22

Линейный индуктивный и емкостный двухполюсники характеризуются соответственно уравнениями

u = L

du dt

откуда видно, что индуктивность L и емкость С -дуальные элементы при L - C. Равенство L = C следует понимать как численное равенство индуктивности (в генри) и емкости (в фарадах).

В общем случае нелинейных индуктивных и емкостных двухполюсников дуальность означает совпадение нелинейных характеристик ¥(i) и q(u).

Принципиально можно говорить и о дуальности многополюсных элементов схемы. При этом два элемента считают дуальными, если математическое описание одного получают из математического описания другого заменой всех переменных, обозначающих напряжения (токи), на переменные, обозначающие токи (напряжения).

Построение и свойства дуальных схем. Две схемы электрических цепей, содержащих двухполюсные элементы, называют дуальными, если они имеют дуальные графы и каждому элементу одной схемы соответствует дуальный элемент другой.

Для построения схемы, дуальной заданной, строят дуальный граф и каждый элемент заданной схемы заменяют дуальным эле-

* Совпадение уравнений понимается следующим образом: если в первом уравнении напряжение (ток) заменить током (напряжением), то получается второе уравнение.

ментом. При построении дуального графа каждый двухполюсный элемент {е, J, г, L, С) следует рассматривать как отдельную ветвь.

На рис. 2.23 приведен пример схемы электрической цепи и штриховыми линиями показано построение дуального графа этой схемы. Дуальная схема изображена на рис. 2.24.

Для заданной схемы дуальная схема существует в том случае, если исходная является планарной, т. е. имеет планарный граф.

Основным свойством дуальных схем является совпадение уравнений, составленных по первому (второму) закону Кирхгофа, одной схемы с уравнениями, составленными по второму (первому) закону Кирхгофа другой схемы.

Рис. 2.23

Совпадение уравнений вытекает из равенств (2.17) и (2.18)

и определения дуальных элементов.

Пример 2.6. Составить уравнение по законам Кирхгофа дуальных схем на рис. 2.23 и 2.24.

Решение. Для схемы на рис. 2.23, по первому закону Кирхгофа,

По второму закону Кирхгофа, уравнения для контуров имеют вид

Заменяя в записанных уравнениях все величины на дуальные, получим:

- ui-f 2-f 3 = 0; (а)

- 3 + 4+e4==P; . (б)

Сг 4- 5 3 dt + gsUs+g,U = 0.

3 п/р, Ионкнна, т. 1

(в) (Г)

При рассмотрении схемы на рис. 2.24 видим, что уравнения (а) и (б) представляют собой уравнения для контуров ёг - С - Ь-л и Ss-gi - e дуальной схемы, а уравнения (в) и (г) - уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов I к 2 дуальной схемы (токи элементов выражены через напряжения на их зажимах).

Если для системы уравнений одной из дуальных схем найдено решение, то оно будет и решением уравнений другой схемы (при замене токов напряжениями и нйЬборот).

Равенство узловой и контурной матриц дуальных схем позволяет установить важное свойство матрицы контуров планарной схемы в случае, если контуры выбраны в виде элементарных ячеек схемы.

Контурам (ячейкам планарной схемы) ставят в соответствие узлы дуальной схемы. При этом матрица контуров В исходной схемы равна узловой матрице дуальной схемы, В § 2.5 доказано, что все неособенные подматрицы максимального порядка узловой матрицы находятся в однозначном соответствии с деревьями и их определители равны ± 1. Так как дереву дуальной схемы соответствуют ветви связи исходной схемы, можно сделать вьшод, что все неособенные подматрицы максимального порядка матрицы контуров (ячеек планарной схемы) находятся в однозначном соответствии с ветвями связи деревьев, причем определители этих подматриц равны ± 1.

Таким образом, подматрицы порядка в - у + \ матрицы контуров-ячеек имеют те же свойства, что и подматрицы матрицы главных контуров.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.