Читальный зал -->  Линейные цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

ГЛАВА 18

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 16.1. Преобразования Лапласа

Прямое и обратное преобразования Лапласа. Линейные дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами могут быть решены с помощью интегральных преобразований Лапласа или Карсона. Различным функциям вещественной переменной (времени t) эти преобразования ставят в соответствие функции комплексной переменной р = о -f /со и наоборот*. Наибольшее применение находят интегральные преобразования Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа функции времени f (t) определяется соотношением

F{p) = ] e-Pf{t)dt. (16.1)

Функцию f{t) называют оригиналом, а функцию /(р) -изображением по Л all ласу функции / (О **.

Изображение по Лапласу существует, если интеграл в правой части равенства (16.1) сходится. Можно доказать, что для функций времени f{t), удовлетворяющих условиям Дирихле на любом конечном интервале времени, равных нулю при t<CO п ограниченных неравенством

1/(/)<Ме о,

где ао>0; М> 0, интеграл (16.1) абсолютно сходится в области 1ер = а>0о. Изображение F{p) является аналитической функцией комплексной переменной р в области сходимости интеграла.

Соответствие между оригиналом f{t) и изображением F(p) записывают в виде

F{p)f(t)

F{p) = [f{t)].

Решение интегрального уравнения (16.1) относительно ори-[ала

O+jco о -/со

* Комплексную переменную р = сг+/(й .следует отличать от переменной /dt, обозначающей оператор дифференцирования.

В отличие от изображения по Лапласу изображение по Карсону опре-

деляется равенством f/j (р) = р J e-pf (О Ш.

называют обратным преобразованием Лапласа и обозначают

Интеграл в правой части равенства (16.2) следует понимать как предел

. Ит 5 Fip)ePdp. -

Интегрирование осуществляется по бесконечной прямой, параллельной оси /со и расположенной в области сходимости интеграла (16.1), т. е. при а>ао- -

Основные свойства прямого преобразования Лапласа

1. Свойство линейности. Если

ZkFk{p)-Zkh(t)y (16.3)

где - некоторые постоянные (ft = 1, 2, ...). Согласно равенству (16.3), изображение линейной комбинации, функций ( представляет собой линейную комбинацию изображений Ри{р).

2. Теорема запаздывания. Изображение функции f{t - to) имеет вид

U{t-to)]-=e-*°[fit)] = e-p>F(p), (16.4)

3. Теорема смещения. Изображение функции е- / (t) имеет вид

[e-i{t)] = F{p + a), (16.5)

где а-положительная или отрицательная постоянная.

4. Умножение изображений. Изображение свертки функций и fzt) равно произведению изображений:

i/l(-T)/2(T),dT

=Flip) F Ар). (16.6)

5. Предельные соотношения. Если существует предел lim f{t), то lim / (О = / (0+) = lim [pF (р)]. (16.7)

< - 0+ р - со

Если существует предел lim / (t), то

nmf{t)=hm[pF{p)]. (16.8)

Основные свойства преобразования Лапласа, вытекающие из соотноше-. ння (16.1), приводятся без доказательства. Доказательство этих свойств рассматривается в курсе математики,

6. Изображение производной. Изображение производной связано с изображением F {р) функции f {t) соотношением

\fm-pF{p)-f{% (16.9)

где f(0) = f(0+). Изображение п-й производной имеет вид

X [/ (Щ == pF ip) - p -Y (0) - p -f (0) -... - ДО). (16.10) В частном случае при нулевых начальных условиях

\fm=-pF{py, (16.11)

UHt)]P F{p). - (16.12)

7. Изображение интеграла. Изображение интеграла

. . {f{t)di

находят чрез изображение F (р) функции / (t) следующим образом:

\f(t)dt

= F(p)/p. (16.13)

Изображение некоторых функций времени. Для заданной функции f{t) изображение может быть найдено по соотношению (16.1). Так, если / (t) представляет собой единичную функцию / = l{t), то

F{p) = je-Pt= [Ht)]=l/p.

Изображение дельта-функции

F{p) = e-P8{t)dt = lb(t)di=l,

так как произведение

е-рб{0 =

8 it) при / = 0 О при / 9 0.

Полученный результат справедлив, если нижний предел интегрального преобразования равен = 0 = 0 . В этом случае в (16.9) ;/(0)=/(0 ) и на основании этой формулы

[6(0]=<5f[i(0]=Pj-i(0-) = i-o==i,

так как, по определению единичной функции, 1(0) = О при <<0, Таким образом непосредственное вычисление изображения или

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.