Звоните! 
 (926)274-88-54 
 Бесплатная доставка. 
 Бесплатная сборка. 
Ассортимент тканей

График работы:
Ежедневно. С 8-00 до 20-00.
Почта: soft_hous@mail.ru
Читальный зал -->  Линейные цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

источников э. д. с. и токов источников тока. Подробно такие уравнения здесь не рассматриваются.

Порядок матрицы в уравнении (15.28), определяемый числом переменных состояния, в схеме без емкостных контуров и индуктивных сечений равен суммарному числу емкостей и индуктивностей *. Каждый емкостной контур и каждое индуктивное сечение уменьшают на единицу порядок матрицы Ai, поскольку в качестве переменных состояния выбираются только независимые напряжения на-емкостях и токи в индуктивностях.

§ 15.7. Способы решения уравнений состояния

Аналитические выражения для решения уравнений состояния.,

Если в цепи. исключены источники (v = 0), то уравнение (15.28) принимает вид

x = AiX. (15.39)

Полученное уравнение характеризует свободные процессы в цепи. Решение этого уравнения выражается формулой

х = еА.х(0), (15.40)

где- е* = ехр {Ajt) - матричная экспоненциальная функция; х (0)- вектор начальных значений переменных состояния (4 = 0). Для того чтобы убедиться в справедливости выражения (15.40), можно подставить его в уравнение (15.39) ** и получить тождество

AieA.x(0) = AieA.x(0).

Если матрица параметров источников v=#0, то решение уравнения (15.28) можно представить как произведение:

xeF{t), (15.41)

где F (t) - некоторая матричная функция времени. Дифференцируя выражение (15.41), получаем

i = AieAtF(0-beA.F(0 = AiX4-eA.F(0. (15.42)

Из сравнения уравнений (15.28) и (15.42) следует

eA.F(0 = BiV. (15.43)

После умножения обеих частей равенства (15.43) слева на матричную функцию e- и интегрирования определяем t о /

F(/)= I e-A.tBiv(T)dT= 5 e-A tBiv(T)dT-b5e-ABiv(i;)dT.

* Порядок матрицы называется часто порядком сложности схемы и совпадает со степенью ха)рактеристического уравнения.

** Правила дифференцирования матричных функций аналогичны правилам дифференцирования скалярных функций.



Таким образом, решение (15.41) записывается как сумма: о .

X = еА < 5 e-AiTBiV(т) dx + e \ e-Ai-BiV (т) dr. (15.44)

-со о

Подставляя в полученное выражение значение = 0, находим

х(0)= 5 e-A.iBiV (т) dT. . .

-со ,. -

Таким образом, окончательное решение уравнения (15.28) имеет вид

x = eA.x(0) + eA.5-A.tBiv(T)dT. (15.45)

Решение этого уравнения является суммой двух слагаемых: первое слагаемое определяется начальным состоянием цепи (реак-ция-цепи при нулевом входе : v=0), второе слагаемое определяется действием источников [реакция цепи при нулевом состоянии : X (0) = 0].

G учетом соотношения (15.45) матрица выходных переменных (15.29) выражается равенством

t .

у = АгеАх (0) + АгеА. \ е-a.BiV (т) dx + BaV. (15.46)

Если в цепи действует только один источник э. д. с. (или тока), . представляющей единичную функцию, то v{t)~l (t) и при нулевых начальных условиях х(0) = 0 решение (15.45) принимает вид

X = et[ - еА. ArlBi = е*. (1 - е-л.) ArBi. или

x = (eA.-l)Ai-Bi. , (15.47)

В этом случае матрица выходных переменных

у = А2(еА. -1)Аг%-ЬВ2. (15.48)

Формулы (15.47) и (15.48) выражают соответствующие переходные характеристики цепи.

Если в цепи действует источник импульсных э. д. с. или тока, т. е. f (0 = 6(0, то при нулевых начальных условиях получается

t t

X = eAi \ a,TBj6 (т) dx = eAiBi \ 6 (т) dx,

0 0

так как подынтегральное выражение отлично от нуля только при = 0. Следовательно, при действии импульсного источника

xeAtBi, . (15.49)

y = A2eAiBi-f Ва6(0. (15.50)



.Полученные формулы выражают соответствующие импульсные характеристики цепи.

Как видно из формул (15.45) -ь (15.50), главным при решении уравнений состояния служит вычисление матричной экспоненциальной функции е . Известны различные аналитические способы вычисления этой функции; далее будет рассмотрен один из таких способов.

Пусть через Ki{i=l, 2, п) обозначены собственные значения матрицы Ai, т. е. корни уравнения

A(X) = det(Xl-Ai) = 0, (15.51)

где матрица 1 имеет порядок, равный порядку матрицы Ai, т. е. п. Собственные значения матрицы Ai совпадают с корнями харак-теристичес1ого уравнения цепи. Действительно, если, производную x = dXkldt в (15.39) заменить на рх, то уравнение (15.39) можно переписать в виде

px-AiX = (pl-Ai)x = 0. (15.52)

Характеристическое уравнение получаем, приравнивая к нулю определитель системы (15.52):

A(p) = det(pl-Ai) = 0. (15.53)

Корни уравнений (15.51) и (15.53) одинаковы.

.Матричная функция е наиболее просто вычисляется, если собственные значения матрицы hi различны. Общее выражение для искомой матричной функции

еА. = ао1 +aiAi + a2A?+... + a iA -i, (15.54)

где ао, 1, а 1 - некоторые функции, подлежащие определению; А\ = AiAi; к\ = AiAjAi и т. д. Для нахождения функций 1. п-1 образуют полином

F (К) = ao + aiX+.. . + a iA -i (15.55)

и составляют уравнения:

eV=/?(Xi), eV=f (Ла), .... eV = F(X ).

п-1-

Из этих уравнений получаем

1 ...

Я2 ...

о ai

и-1

(15.56)

(15.57)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180



ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.


Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы
.