Читальный зал -->  Цилиндрические электромагнитные экраны 

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

лос или металлических стенок, размещенных в переменном магнитном поле. Такая задача ранее решалась методам последовательных реакций вихревых токов, т. е. итерационным методом, причем с учетом вычислительных трудностей обычно ограничивались первой итерацией, что иной раз приводило к большим ошибкам.

Эти трудности можно устранить, применяя для описания задачи интегральное уравнение Фредгольма второй степени в виде

y(x) = giK) + XK(x, s)y{s)ds,

(1.106)

где у{х) - искомая функция; g(x) - данная функция; К(х, s) - ядро интегрального уравнения, определяемое для каждой пары цифр квадрата ахЬ; asb; - цифровой параметр, действительный или комплексный.

Уравнение (1.106) является одновременно уравнением Эйлера - Фредгольма вариационной задачи экстремальности квадратичного функционала

I[y]=[y{s)rds-XlK*{K, s)X

а а а

Xyix)y{s)dKds-- 2g{s)y{s)ds + c. (1.107)

Если выполняются условия [1.10];

1) g(x) интегрируем в {а, Ь);

2) тах[К{х. s)] <

ЦЬ-а)

а<к; s<b,

(1.108)

то (1.106) имеет одно и только одно решение в интервале {а, Ь) в виде суммы сходящегося ряда Неймана (называемого также рядом Борна)

у( )= S>.( ).

( = 0

(1.109)

где goix)=g{x), а также

г.(л:) = jV(x. s)gi As)ds. (1.110)

Интегральное уравнение Фредгольма (1.106) решается обычно численным методом последовательных приближений или при помощи метода конечных разностей.

Метод конечных сумм [1.6]. Этот метод основывается на том, что интеграл в (1.106) заменяется соответствующей суммой

а *=1

Затем (1.106) заменяется системой линейных алгебраических уравнений

Xi/(A:,)-fAp;, / = 1.2,3.... (1.112)

где р,= А,р[/С(л:<, s)t/(s)]; х {k =

= 1, 2, 3..... п) - точки интервала

(а, Ь); Ak {k=l, 2, 3, п) - постоянные цифровые коэффициенты, независимые от выбора функции ф(л:); р(ф)-остаток (ошибка) (1.111).

Неизвестная величина \pi отбрасывается, и получается решение в форме цифровых значений y{xi) в узловых точках х,-. Более подробно о методе конечных сумм см. [1.6].

1.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Основой вариационного метода является определение таких функций Ui{x, у), при которых интеграл / некоторой комбинации этих функций и их производных принимает экстремальное значение. В физических задачах обычно под экстремумом имеется в виду минимум. Интеграл /, будучи функцией, зависимой от некоторых функций, играющих роль аргументов, называется функционалом.

В задачах электродинамики и электромеханики наиболее важное

значение имеет функционал вида /= л;, itf. X, y)dKdy,

(1.113а)

где Ux=du/dx; Uy=dufdy, причем искомая функция и{х, у) и ее производные непрерывны в пространстве Q и приобретают на границе С исследуемого пространства заданные значения. Решение вариационной задачи имеет вид

/= Р{и. и, Uy, к, y)dxdy = rmn

(1.113)

и является уравнением Эйлера.

Для непосредственного нахождения экстремума функционала (1.113) используется приближенный метод Ритца и его варианты, называемые методами Галеркина, Канторовича и Трефтца.

1.5.1. Метод Ритца. Этот метод позволяет получить приближенное решение вариационной задачи типа

(1.113) путем нахождения такой линейной комбинации

(f. у)=?о( . у)+ S ) *=1

(1.114)

произвольно выбранной последовательности функций (ро{х, у); tfi{x, у), линейно независимых в интервале (О, С), чтобы функция

(1.114) реализовала минимум функционала (1.113). Функция (ро{х,у) удовлетворяет в этом случае граничным условиям, заданным для функции и{х, у), т. е. u{P)=f{P) для РеС. Остальные функции принимают нулевые значения на границе С пространства Q, т. е.

<р (0) = 0; <рЛС) = 0, я=1, 2, 3.

(1.115)

Исходная задача сводится, таким образом, к определению п параметров (коэффициентов) Oi, Сг,...

On, которые реализуют экстремум функционала (1.113), выража-

емый в этом случае в форме функции этих параметров 1=1 {щ, а,...

.... fln).

На основе теоремы Ферма [1.21] о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой функции коэффициенты (параметры) Uh определяют исходя из условия существования экстремума функционала

dl/dak = 0. k=l,2.....п. (1.116)

Выражение (1.116) представляет собой систему из п уравнений с п неизвестными.

Пример 1.2. Для уравнения Пуассона (1.79), если заданную функцию / (/) можно разложить в интервале В (Одгзт; 0<г/<я) в ряд Фурье во

/(X, 1/)= 2 Срд sin рх sin ду, (1.117) со

причем ряд 2 \Рч\ сходится, то с

использованием (1.114) последовательность функций (р*(дс, у) выбираем таким обра-зом, чтобы

Лтп = limn (Х, у) = т п

= -2 2 Opsinpxsinqy. (1.118)

р=1 q=i

После выполнения иеоб.ходимых операций [1.14] получается, что ар = =-Ср,/(р=-1-? ) и А (X, у) = и (X, у) =

р, 9=1

1.5.2. Метод Канторовича. Представлением коэффициентов Oh в методе Ритца в форме а\{х), а2{х), ...

ап{х) (1.114) принимает более общий вид

( . У) = 9о{х:, У)+ 2йЛ )?а(<. У)> *=1

(1.120)

что позволяет получить более точное решение. После подстановки (1.120) в (1.113) и интегрирования относительно у получается новый функционал, зависимость которого

от п неизвестных функций qh(x) имеет вид

..... a W] = Ki(a*. a,x)dK,

(1.121)

где ak=dakldx, k=\, 2, п.

Функционал (1.121) имеет форму, аналогичную форме функционала действия в теореме Гамильтона [1.24]. Необходимым условием существования экстремума функционала (1.121) является, таким образом, уравнение Эйлера [сравни с (1.132)]

д?у d / (JFi \

ах \

= 0. .....п.

(1.122)

из которого при данных граничных условиях находятся функции ai{x), а2{х),..., ап{х).

Примеры использования методов Ритца и Канторовича приводятся в [1.4, 1.21].

1.5.3. Метод Галеркина. Данный метод используется для решения определенного типа дифференциальных уравнений L{y)=0 как в частных производных, так и в обычных путем сведения уравнений к вариационной форме (1.113). После формирования функционала, соответствующего данному дифференциальному уравнению, аналогично случаю (1.114) пишутся такие комбинации линейных последовательностей функции Ц1о{х, у), (р\{х, у) чтобы функционал приобретал нулевое значение,

/ г л

JZ, 2?pi)dx = 0, k=i

(/7=1,2..... п). (1.123)

Из системы р уравнений (1.123) определяются последовательно п коэффициентов щ, Оп искомой линейной комбинации (1.114) функции (рк{х) [1.21].

1.6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1.6.1. Формы уравнения Эйлера и соответствующие им функционалы.

Аналогично вариационным методам задачи расчета электромагнитного поля, описываемые дифференциальными уравнениями Лапласа АА= =0, Пуассона (1.35) и Гельмгольца (1.36), а также электромеханическим уравнением Эйлера - Лаграижа (1.132), можно привести к вариационной формулировке (1.113)

/= JJf( . tl;. Uy, X, y)dxdy = mm

( ди да \

уравнение затем решается методом конечных элементов.

Функция F выбирается при этом таким образом, чтобы данное дифференциальное уравнение было уравнением Эйлера для функционала (1.113).

Уравнение Эйлера, представляющее собой обязательное условие существования минимума интеграла (1.113), получаем путем поиска в пространстве переменных и{х, у) такой функции Fe (рис. 1.16), удовлетворяющей граничным условиям и (С), чтобы значение интеграла (1.113) для этой функции было наименьшее по сравнению со значением, которое преобретает интеграл для каждой другой функции F, удовлетворяющей тем же самым граничным условиям и лежащей достаточно близко к функции Fo.

Рдд/гя 61=0, а=0

и(х.,) и[Х2)

Рис. I.I6. Иллюстрация нарнацнонной задачи для одномерной функции и{Х); Ux

=ди/дх

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.