Читальный зал -->  Надежность технологических систем 

1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Подставив (2) в (1), после элементарных преобразований и предельного перехода при получаем дифферен-

циальное уравнение вида

Pn к(= lN + (k+l)x ]Р, (/)- [2р+?. {N+

+Ь) ]Р, (t)+% IN+ik-lb ]Pn, K-i{t).

Полностью система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование рассматриваемой системы, имеет вид

3 (t)= - {N + vns)PN. , (t) + ixPn. 3-1 (t), Pn *(0=M+(ft+l)v]Pw,ft+,(0-I2p+?.(/V+b)] Pn,

.\-nN-{k-\)v\PN,k-x{t) (для A:>0),

Pm. 0 (0 = ? (m + 1) m+I. c(0 - (2p + 0 (0 +

+ ?t (m- 1) Pm-i, c(0 (для 0<in<N),

p; (/) = ЯР о(0 -2fxPo.o(0-

При начальных условиях, например Рл?,пз(0)=1. т. е. при =0, в системе нет ни одного отказавшего элемента (возможны и другие начальные условия). Эта система уравнений известна под названием схемы гибели и размножения.

Нас могут интересовать самые разные показатели надежности рассматриваемой системы: вероятность безотказной работы P(f) в интервале времени (О, 0. среднее время работы до первого отказа или между отказами в стационарном (установившемся) режиме, коэффициент готовности в стационарном режиме и др. Остановимся на нахождении одного из простейших показателей - коэффициента готовности, т. е. вероятности того, что в произвольный достаточно удаленный момент времени наша система будет находиться в состоянии работоспособности, т. е. в ремонте одновременно будет находиться не более Па+Из элементов.

При вычислении коэффициента готовности мы рассматриваем стационарный режим, а это означает, что система дифференциальных уравнений переходит в систему линейных алгебраических уравнений (стоящие в левых частях уравнений производные обращаются в нуль, а все Рц{1) обращаются в . константы с теми же индексами - Pj).

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений, соответствующей схеме гибели и размножения, хорошо известно в теории массового обслуживания я в теории надежности 13], [4]. .

Введем обозначения fe-i

N - m - l

{vif- п ( + 0

0m. о = N. О- --при niN

И, далее,

ft=l m=0

Тогда для вероятностей состояний можно записать: 6jv, k р 6я

JV Ь - -л-- ... П -

ft 6 .О 0

В нашей системе состояниями работоспособности являются состояния

{N, Из), (N, n,-l),...,iN, 0),...,(ni+l, 0), {til, 0).

Следовательно, коэффициент готовности равняется сумме вероятностей пребывания во всех этих состояниях, т. е.

п, N

fe=l m=nt

Заметим, что при довольно общих предположениях ряд показателей надежности, вычисленных в предположении об экспоненциальности распределений, совпадает с показателями, вычисленными для общего случая, а некоторые могут быть использованы как приемлемые для практических целей оценки.

Оценка надежности по малой информации (на примере стареющих распределений)* Иногда специалисту по надежности, которому предстоит рассчитать вероятностные характеристики проектируемой системы, бывает известна лишь ограниченная статистика о надежности используемых элементов. (Напомним, что под элементом в широком смысле слова понимается любая часть системы, включая и очень большие подсистемы.) Малая статистика позволяет говорить более или менее достоверно лишь об оценках

среднего времени безотказной работы и в лучшем случае об оценках для дисперсии распределения времени безотказной работы элемента. Если мы знаем лишь среднее время безотказной работы, то, как известно, из этого факта невозможно получить никакой нетривиальной информации о самом виде распределения времени безотказной работы.

Если нам известна дополнительно еще дисперсия распределения, то мы можем для произвольного распределения записать известную оценку Чебышева:

P{-Mge}<-5-. (3)

где I - рассматриваемая случайная величина; М - среднее значение этой величины;

о*-дисперсия этой случайной величины; 8 - произвольная положительная величина.

Эта оценка, как видно из выражения (3), означает, что случайная величина , имеющая произвольную функцию распределения, отклоняется от своего математического ожидания на значение, большее ka, с вероятностью, не большей \lk. Заметим, что эта оценка, являясь универсальной, имеет весьма ограниченное применение на практике, так как определяет границы слишком грубо, причем при k<\ эта граница тривиальна. Естественно ожидать сужения этих границ для оценки неизвестной функции распределения, если нам известна какая-либо дополнительная информация.

Оказывается, что очень существенное улучшение оценок удается получить, если случайная величина \ является стареющей . Старение является достаточно понятным и естественным свойством. Оно означает, что вероятностные характеристики надежности некоторого изделия ухудшаются с течением времени. Например, старение некоторого изделия может означать возрастание с течением времени интенсивности отказов либо убывание среднего значения остаточного времени жизни в зависимости от длительности уже прожитой жизни . (Справедливости ради следует заметить, что эта совершенно качественная на первый взгляд информация приводит к появлению вполне строгих математических условий. Так, для стареющих случайных величин могут быть определены соответствующие ограничения на все моменты распределения.)

1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.