Читальный зал -->  Надежность технологических систем 

1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

вания-такой системы, если ее выходной эффект Е (г) зависит от числа нормально функционирующих выходных исполнительных элементов z как

Е (г)= г+0,001 г.

При такой постановке задачи заниматься прямым перебором всех возможных вариантов построения системы, а затем пытаться анализировать различные достаточнб сложные частные структуры вряд ли представляется целесообразным. Более естественным будет изучить аналитически несколько типовых структур, симметризованных в целях получения компактного аналитического результата.

Рассмотрим симметричную иерархическую структуру общего вида, для которой введем следующие определения: число элементов, подчиненных одному элементу ближайшего i-ro управляющего ранга, назовем его коэффициентом разветвления - щ, через обозначим вероятность работоспособного состояния элемента i-ro ранга, через М- полное число элементов i-ro ранга. Всю структуру будем предполагать симметричной и изотропной по рангам.

Дли конкретности положим, что всего исполнительных элементов в системе может быть не более 400 (при оценке мы будем брать именно это максимально возможное значение). Пусть также известно, что коэффициент разветвления на любом ранге может быть равен только 4 или 5. Все элементы системы предполагаются равнонадежньми с

К указанной постановке остается еще сформулировать, что же имеет смысл понимать под эффективностью функционирования. В соответствии с [И 1 назовем эффективностью функционирования системы математическое ожидание ее выходного эффекта. Итак, в нашем случае эффективность может быть определена как

£= yPAz)E{z),

г = 0

где P {z) - вероятность того, }П0 в системе работает ровно г исполнительных элементов из общего числа N , или в другом виде:

Е=МЕ(г)=М (г+0,00122)=М +0,00ШД, где М - оператор математического ожидания, а М - начальный момент i-ro порядка распределения случайной величины Z.

Итак, нам нужно для оценки эффективности симметри-зованной структуры в нашем случае найти первые два начальных момента распределения величины г. Мы будем исследовать только две структуры:

1) ai=ai=5, 03=04=4, 2)а1 =02=4, аз=а1=5.

(Понятно, что они в определенном, смысле являются граничными.)

Однако сначала вкратце покажем принцип исследования подобного рода иерархических структур.

Запишем моментную производящую функцию для рас- -пределения (г):

Ф (5)=

(Напомним, что i-я производная моментной производящей функции в точке S=0 дает i-й начальный момент распределения Р (z).)

Обозначим через N -1 полное число элементов на (п-1)-м ранге. Тогда для того, чтобы на последнем п-м ранге нормально функционировало г элементов, необходимо, чтобы на (п-1)-м ранге нормально функционировало не менее ]z/a [ элементов. (Здесь через \х\ обозначена целая часть от х.) Нормальное функционирование такого числа элементов (п-1)-го ранга может обеспечить, в свою очередь, нормальное функционирование не ровно Z исполнительным, элементам, а а х элементам. Следовательно, нужно учесть еще вероятность того, что из а х исполнительных элементов у а х- г элементов наступит отказ.

В результате по формуле полной вероятности можно записать следующее рекуррентное выражение для вероятностей

а затем для моментной производящей функции имеем

После перемены порядка суммирования и ряда несложных преобразований получаем окончательно рекуррентную формулу

Ф (5) = Ф -Л(А е +дпГп), которая позволяет записать затем следующие рекуррентные выражения для двух первых начальных моментов

или окончательно в замкнутой форме

Мп = роПщР1, (9)

п / п п п \

, = u v = i (=1 fe = i+i J

Теперь перейдем к анализу наших структур.

Из формулы (9) видно, что характер структуры не влияет на величину первого момента. Для обоих случаев он численно равен

Mi=0,98.400 236. Для вторых начальных моментов распределения случайной величины г получаем в первом случае значение

Mл!l47.10

а во втором случае -

Мж142-10

Окончательно эффективность системы при первом типе структуры будет равна ; 383, а при втором л(378.

Таким образом, можно сделать вывод, что при подобного рода критерии эффективности желательно строить структуру системы так, чтобы на верхних рангах управления коэффициенты разветвления были больше. (Конечно, этот вывод может оказаться принципиально неверным для другой ситуации, когда большой коэффициент разветвленияна высших рангах может быть вредным из-за появления нежелательных последствий децентрализации.)

Построение грубых моделей для оценки сверху и снизу (на примере метода минимальных путей и минимальных сечений). Одним из важных приемов при ориентировочной оценке вероятностных характеристик сложных систем, точные математические модели которых неоправданно гро-

1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.