Читальный зал -->  Изменение энтропии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

Равенство (14.11) справедливо для любого произвольно выбранного объема, поэтому подынтегральные выражения также равны друг другу. Тогда

a\74 = dt/dT, (14.12)

где а = А./(ср) - коэффициент температуропроводности.

Это и есть нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности. Для его интегрирования необходимо задать начальные условия, определяющие температурное поле в рассматриваемом теле в начальный момент времени т = 0, и граничные условия, определяющие температуру или законы переноса теплоты на границе тела.

В теплопередаче принята классификация граничных условий:

I рода - задана температура на поверхности тела;

II рода - задана плотность теплового потока на поверхности тела;

III рода - поверхность тела обменивается теплотой со средой известной температуры по закону Ньютона (9.1);

IV рода - рассматриваемое тело находится в плотном контакте с другим телом.

При рещении стационарных задач теплопроводности граничные условия I рода были нами использованы в §8.3, а III рода - в § 12.2.

Аналитические решения многих нестационарных задач для разнообразных

условий можно найти в специальной литературе. Здесь мы рассмотрим лишь одно из них - охлаждение бесконечной пластины в среде с постоянной температурой /ж и при постоянном коэффициенте теплоотдачи (рис. 14.1). (Распределение температуры по сечению пластины конечных размеров будет практически таким же, как в бесконечной, если рассматриваемое сечение отстоит от края на расстоянии, более чем в 10 раз превышающем толщину пластины.)

В этом одномерном случае (температура изменяется только по толщине пластины) уравнение (14.12) имеет вид

ад1/дх=д(/дт: (14.13)

с начальным условием

/ ,j = / = const. (14.14)

Граничное условие III рода получается из баланса двух тепловых потоков: подходящего за счет теплопроводности к поверхности остывающего тела из его глубины <7л=б= - ) (d</<?Jf)x=6 и отводимого теплоотдачей к теплоносителю q = = a(io-/ );

-X (dt/dx),= s = a Uc-tm). (14.15) По условиям симметричности температурного поля при х~0

{dt/dx)., = 0. (14.16)

Аналитическое решение задачи (14.13) - (14.16) обычно приводится в безразмерном виде:

2 sin р

p + sin р cos р

с.оз(рД)Х

Xexp(-,x 2f ), (14.17)

где 8 = (< -ж)/(<о-<ж) - безразмерная температура; ц -- корни характеристического уравнения ctg р. = р /В1;

Рис. 14.1. К постановке задачи об охлаждении пластины

Методы решения задач подобного рода рассматриваются в специальной науке - математической физике и в данном кратком курсе не приводятся. Правильность решения можно проверить его подстановкой в исходное уравнение, а также в начальные и граничные условия.

Fo = ai/b - число Фурье (безразмерное время); Bi = a6/X - число Био.

Число Био характеризует отношение термического сопротивления переносу теплоты теплопроводностью от середины твердого тела к поверхности Rx = b/(kF) к термическому сопротивлению теплоотдачи Ra.= \/{aF). Условие (14.1) для термически тонкого тела можно записать в виде Bi->-0 (практически Bi<0,l).

Расчет по формуле (14.17) можно выполнить с помощью любого микрокалькулятора с простей1иим программированием. Вначале в интервале от О до я/2 находят первый корень i, уравнения ctgn = fi /Bi и рассчитывают первый член ряда, затем к нему суммируются последующие, для которых интервал р, сдвигается на значение я по сравнению с предыдущим значением li(n-i) (рис. 14.2). Ряд быстро сходится, обычно достаточно шести членов. При Fo> >0,3 можно ограничиться одним первым членом.

Еще проще воспользоваться имеющимися в справочниках [9] номограммами, особенно если рассматриваемое тело цилиндрической или сферической формы, поскольку в решения таких задач входят специальные функции, а стандартных программ для их расчета у микроэвм нет.

Распределение температуры по толщине пластины в различные моменты времени представляет собой семейство кривых в координатах 6, X (или /, х) с максимумом на оси пластины (рис. 14.3). В любой момент времени Ро>0(т>0) касательные к кривой распределения температуры на границе пластины выходят из одной точки С, расположенной на оси А на расстоянии 1/Bi от поверхности пластины. Это несложно показать, если граничное условие (14.15) привести к безразмерному виду

(de/dA)x=i = - Bie,..

По определению производной (дв/дХ) =-ig<f (рис. 14.3), следовательно, 1§ф=В1вс. Из рис. 14.3 видно, что tg (f = AB/AC, где Лб = Нс. Следовательно, АС= 1/Bi.

При больших значениях В! (практически при Bi>100), когда а>Х/6, рас-

Рис. 14.2. Графическое решение уравнения ctg (i = n /Bi

Рис. 14.3. Распределение температуры по толщине охлаждаемой пластины

стояние 1 /В\-*0. Это значит, чтс сразу после начала процесса поверхнос ь тела охлаждается до температуры жидкости (рис. 14.4, а). При таких режима;: изменение температуры внутри тела определяется только термическим сопротивлением теплопроводности и далыейшее увеличение а уже не ускоряет процесса охлаждения.

Случай малых значений В1- -0 специально рассмотрен в начале данной главы. При этом АС = (1 /В\)-*оо, т.е. температура по толщине пластины Н2 изменяется (рис. 14.4, б).

Решение (14.17) можно испол .зовать и для расчетов температурного поля в бесконечном стержне прямоугольной формы и даже в параллелепипеде. Такие тела рассматриваются как образсванные

в! Fo = 0

в = 7

Рис. 14.4. Распределение температуры по толщине охлаждаемой пластины при Bi ->- оо (а) и Bi О (б)

пересечением двух или трех взаимно перпендикулярных бесконечных пластин, и безразмерная температура в любой их точке находится в виде произведения безразмерных температур в бесконечных пластинах, пересечением которых образовано данное тело.

Пример 14.1. Рассчитать время нагрева круглого прутка из стали 20 диаметром 50 мм и длиной 2 м от О до 800 °С в электропечи с температурой 900 °С.

В пределах заданного интервала температуры нагрева детали теплофизические свойства металла и условия теплообмена сильно меняются, поэтому при выполнении точного расчета целесообразно этот интервал разбить на более мелкие и полное время нагрева найти в виде суммы. В качестве иллюстрации метода выполним лишь приближенную оценку сразу для всего температурного интервала (методика расчета не зависит от величины интервала температур нагрева). Теплофизические свойства металла и условия теплообмена будем считать при средней в заданном интервале нагрева температуре / = 400 °С.

В справочнике [15] найдем теплофизические свойства стали при / = 400 °С: >. = = 42,7 Вт/(м-К); р = 7682 кг/м; с = = 682 Дж/(кг.К), е = 0,8.

Теплофизические свойства воздуха при ( = 900 °С и /с = 400 °С: >l = = 7,63-10- Вт/(м.К); v =155,l-10- м7с; Рг = 0,717; Ргс =0.678; (i = 1/Гж= 1/(273 + 900) = 8,5-10- 1/К.

Коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции по аналогии с примером (10.2)

Nu = 0,5 (СгжРг ) (Рг /Рг,.) ° =

= 0,5 (2,17 10 0,717) (0,717/0,678) = = 5,66,

cr =lMli:if)il=

9,81-8,5-10- (900-400) 0,05 (155,1-10-<)2

= 2,17-10 ;

a. = Nu )l /d =

= 5,66 - 7,63 -10 - V0,05 = 8,6 Вт/ (м - К).

Тепловой поток излучением от стенок печи, имеющих температуру / , к прутку найдем по аналогии с примером (11.1):

О, 2 = еС лб(/[(7/100) -(7/100) 1 =

= 0,8-5,67-3,14-0,05-2

Коэффициент теплоотдачи излучением a, = Q, 2/nd/(/ -/c) =

= 24 103,14 - 0,05 - 2 (900 - 400) =

= 153 Вт/(мК).

Суммарный коэффициент теплоотдачи будет равен

а = ак + ал = 8,6+153=162 Вт/(м-К).

Обратите внимание, что при высоких температурах теплообмен излучением является преобладающим и без большой погрешности величиной ак можно было пренебречь и не рассчитывать ее.

Для выбора способа расчета времени нагрева вычислим Bi = ar/X = 162-0,025/42,7 = = 0,095.

Обратите внимание, что в число В1 входит теплопроводность нагреваемого тела (металла), а в число Nu - теплопроводность газа.

Поскольку Bi<0,l, нагреваемое тело можно считать термически тонким и воспользоваться формулой (14.7), из которой с учетом того, что для цилиндра F/V = /d (площадью

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку.



Звоните! Ежедневно!
 (926)274-88-54 
Продажа и изготовление мебели.

Копирование контента сайта запрещено.
Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы.